空気抵抗を考慮した垂直上投運動

背景知識#

垂直上投運動：指物體以某一初速度垂直向上投出 (不考慮空氣阻力), 只在重力作用下所做的運動.

若研究在垂直上投運動中，一小球所能達到的最高位置的距離 $ H $ 時，則有一般思路:

若初速度為 v_0, 重力加速度為 g, 則有 H = \frac{v_0^2}{2g}

那麼，如果將這個問題改變一下，若考慮空氣阻力對垂直上投運動的影響，那麼結果會是如何呢？

已知空氣阻力的關係式 $ f = \frac {1}{2} c \rho S v^2 $, 其中 $ C $ 為空氣阻力係數，$ \rho $ 為空氣密度，$ S $ 物體迎風面積，$ v $ 為物體與空氣的相對運動速度，小球的質量為 $ m $, 重力加速度為 $ g $.

設 $ H $ 為小球所能達到的最高位置的距離.

不考慮 $ c, \rho, S $ 對本題目的影響，且小球直徑 $ d \ll H $.

設水平向下為小球運動的正方向，根據牛頓第二定律 $ F = ma $, 則有 $ ma = mg + \frac {1}{2} c \rho S v^2 $,

令 $ \lambda = \frac {1}{2} c \rho S $, 即 $ ma = mg + \lambda v^2 $,

\begin{align} \because a &= \dot{v} = \frac{dv}{dt} \\ \therefore m \frac{dv}{dt} &= mg + \lambda v^2 \\ \implies \frac{dv}{dt} &= g + \frac{\lambda}{m} v^2 \\ \end{align}

令 $ \frac {\lambda}{m} = \mu $,

\begin{align} \therefore \frac{dv}{dt} &= g + \mu v^2 \\ \implies \frac{dv}{g + \mu v^2} &= dt \\ \implies \int \frac{dv}{g + \mu v^2} &= \int dt + C \\ \implies \frac{1}{g} \int \frac{dv}{1 + \frac{\mu}{g}v^2} &= t + C \\ \implies \frac{1}{g} \int \frac{\frac{\sqrt{g}}{\sqrt{\mu}}d(\frac{\sqrt{\mu}}{\sqrt{g}}v)}{1 + (\frac{\sqrt{\mu}}{\sqrt{g}}v)^2} &= t + C \\ \implies \frac{1}{g}\frac{\sqrt{g}}{\sqrt{\mu}}\arctan(\sqrt{\frac{\mu}{g}}v) &= t + C \\ \implies \sqrt{\frac{1}{\mu g}}\arctan(\sqrt{\frac{\mu}{g}}v) &= t + C (*) \end{align}

當 $ t = 0 $ 時，$ v = -v_0 $, 有:

\begin{align} C &= -\sqrt{\frac{1}{\mu g}}\arctan(\sqrt{\frac{\mu}{g}}v_0) (**) \end{align}

當 $ v = 0 $ 時，有:

\begin{align} t &= \sqrt{\frac{1}{\mu g}}\arctan(\sqrt{\frac{\mu}{g}}v_0) \end{align}

若欲將 $ (*) $ 轉換為 $ v $ 與 $ t $ 之間的顯式表達式，則需:

\begin{align} 將 (*) 變換, 得: \arctan(\sqrt{\frac{\mu}{g}}v) &= \sqrt{\mu g} (t + C) \\ \implies \sqrt{\frac{\mu}{g}}v &= \tan[\sqrt{\mu g} (t + C)] \\ \implies v &= \sqrt{\frac{g}{\mu}}\tan[\sqrt{\mu g} (t + C)] \end{align}

又 $ \because v = \dot {x} = \frac {dx}{dt} $, 有:

\begin{align} \frac{dx}{dt} &= \sqrt{\frac{g}{\mu}}\tan[\sqrt{\mu g} (t + C)] \\ \implies \int \frac{dx}{dt}dt &= \sqrt{\frac{g}{\mu}} \int \tan[\sqrt{\mu g} (t + C)]dt + C' \\ \implies x &= \sqrt{\frac{g}{\mu}} \int \frac{\sin[\sqrt{\mu g} (t + C)]}{\cos[\sqrt{\mu g} (t + C)]}dt + C' \\ \implies x &= -\sqrt{\frac{g}{\mu}} \int \frac{dcos[\sqrt{\mu g} (t + C)]}{\sqrt{\mu g} (t + C)} + C' \\ \implies x &= -\frac{1}{\mu} \ln{|\cos[\sqrt{\mu g}(t + C)]|} + C' \end{align}

由 $ H = x_{|t = \sqrt {\frac {1}{\mu g}}\arctan (\sqrt {\frac {\mu}{g}} v_0)} - x_{|t = 0}$,

注意到，其中 $ t + C = 0 $, 則，

\begin{align} H = 0 - C' - [-\frac{1}{\mu} \ln{|\cos(C\sqrt{\mu g})|} + C'] \\ \implies H = \frac{1}{\mu} \ln{|\cos(C\sqrt{\mu g})|} + C' (***) \end{align}

將 $ (), \lambda = \mu m = \frac {1}{2} c \rho S v^2 $, 代入 $ (*) $ 並整理，得:

\begin{align} H &= \frac{2m}{c \rho S}\ln{|\cos[\arctan(\frac{c \rho S v_0}{2mg})]|} \end{align}

上式即為所求.